Taux de variations d`un champ scalaire - epiphys

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Taux de variations d`un champ scalaire

Description :

A partir d’une répartition donnée de la température des points d’une plaque rectangulaire, on dégage les données qui interviennent dans la notion de dérivée partielle. Le concept de dérivée d’une fonction à une variable réelle est supposée connu.

Intention pédagogique :
  1. Extraire de l’observation, la notion d’application partielle.
  2. Visualiser les variations d’une application partielle à partir d’un point.
  3. Par analogie avec la notion de dérivée à une variable, comprendre le rôle des constantes et variables pour évaluer un taux de variation d’un champ scalaire en un point, dans la direction d’un axe de coordonnées.

Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
  • Les figures 1 et 1bis représentent la répartition des températures sur une plaque rectangulaire, soit en reportant en hauteur au dessus de chaque point la température en ce point, soit en faisant varier la nuance de gris en chaque point, du plus froid (points foncés) au plus chaud (points clairs).
  • Un repère est choisi tel que les coordonnées des points de la plaque vérifient -2 \leq x \le 2 et -2 \leq y \le 2 . La température en m=\left( x,y\right) est donnée par la fonction

    T\left( x,y\right) ={\frac{1}{ 2}\left(\ x^{2}y+x^{2}+y^{2} \right)

  • Une question se pose : comment varie T ?

Cette question est beaucoup trop générale, on ne sait pas répondre. On va s’intéresser à ce qui se passe en un point et autour de ce point.


situation-problématique
  • Une fois le point m_0, choisi, le plus simple pour commencer est de se déplacer dans la direction d’un axe, de part et d’autre de m_0, on visualise ainsi la température en faisant varier soit x, soit y. Voici un exemple. On observera que pour la courbe représentant la variation de température, la variable n’est plus x mais \Delta  x.
  • Comment écrire la fonction qui est représentée par cette courbe ?

Il faut bien respecter les trois étapes suivantes :

  1. Je choisis un point m_0.
  2. Je choisis la direction de variation, ou ce qui revient au même, la variable qui reste bloquée.
  3. J’écris la fonction qui n’a plus qu’une variable

x \rightarrow  2 T\left( x_{0},y\right) =x_{0}^{2}y+x_{0}^{2}+y^{2}

ou

x \rightarrow  2 T\left( x,y_{0}\right) =xy_{0}^{2}+x^{2}+y_{0}^{2}

On a obtenu deux fonctions que l’on appelle les applications partielles n° 1 et n° 2 de T au point m_0. Le numéro est celui de la coordonnée qui varie.

situation-problématique
  • Supposons choisis : le point m_0 et la direction d’un axe, autrement dit l’un des vecteurs de base i= \left (  1,0 \right )  ou j= \left ( 0,1 \right )  . Prenons par exemple m_0= \left (  1,1 \right ) et l’axe des abscisses.
  • Quelle est l’opération qui permet d’apprécier la variation de la température en m_0 dans la direction du vecteur i ?

On fait le choix du taux de variation au point m_0 . Le calcul se fait en deux temps

  • Si l’on se déplace horizontalement d’une quantité  \Delta  x de m_0 à m \left (x,y \right ) de sorte que x=1+ \Delta  x et y=1 de part et d’autre de m_0 (le signe de  \Delta  x n’est donc pas constant, ne pas confondre la direction du déplacement et le sens du déplacement), le taux de variation est

 \tau_{m_{0}} \left (   \Delta  x \right )  ={{\frac{1}{ \Delta  x}}} \left (  T\left( 1+\Delta x,1\right) -T\left( 1,1\right)  \right )

={{\frac{1}{ \Delta  x}}} \left (  T\left( 1+ \Delta  x,1\right) -3/2 \right )

={{\frac{1}{2 \Delta  x}}} \left (\left( 2(1+ \Delta  x)^2+1\right) -3 \right )

 ={ \Delta  x}+2

  • Le taux cherché est la limite de \tau_{m_{0}} \left (   \Delta  x \right ) lorsque Δx tend vers 0.

\lim_{ \Delta  x \rightarrow 0}{\tau_{m_{0}}} \left (   \Delta  x \right )  =2

.

question remue-méninges Que représente 2=\lim_{ \Delta  x \rightarrow 0}{\tau_{(1,1)}} \left (   \Delta  x \right )  pour l’application partielle

 T\left( x,1\right) =x^{2}+1/2 ?

notation \tau_{m_{0}} \left (   \Delta  x \right ) peut être noté \tau \left (  m_{0} \right )   \left (   \Delta  x \right )  ou \tau \left (  m_{0}, \Delta  x \right )  .
question remue-méninges Calculer de même :
  1. La limite de \tau_{(0,0)} \left (   \Delta  x \right ) lorsque Δx tend vers 0.
  2. La limite de \tau_{(1,-1)} \left (   \Delta  x \right ) lorsque Δx tend vers 0.
  3. La limite de \sigma_{(1,-1)} \left (   \Delta  y \right ) lorsque Δy tend vers 0. Attention, on se déplace maintenant selon l’axe des ordonnées, d’où le changement de notation.

Contrôler les résultats en calculant directement la dérivée de l’application partielle.

ce qu'il faut retenir Pour calculer un taux de variation, respecter l’ordre et ne rien oublier, il faut :
  1. se donner une fonction de plusieurs variables
  2. fixer un point
  3. choisir quelle est la coordonnée qui varie
  4. écrire le taux de variation au point donné, sans oublier qu’il s’agit d’une limite,
    - ou calculer la dérivée de l’application partielle au point fixé.
pour aller plus loin Dérivées partielles