Calcul d'intégrales (1) - epiphys

Global Local Liste Concept

Calcul d’intégrales (1)

Description :

définition et utilisation de l’intégration directe

Intention pédagogique :

comprendre et utiliser une méthode d’intégration : intégration directe


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

0h45

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode
définition Soient [a, b] un intervalle de \R, une fonction continue sur [a, b] et F une primitive de f. \int_a^b f(t)dt =\left[F(t)\right]=F(b)-F(a)

Pour calculer une intégrale, il est indispensable de connaitre les primitives des fonctions usuelles.

Les primitives usuelles à connaitre par coeur :

\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline  \textbf{fonction} & \textbf{primitive a une constante pres} \\   
\hline  0& 0 \\
\hline  k& kx \\
\hline  x^{-1}& \ln(x) \\
\hline  x^{a}, a \ne -1 & \displaystyle\frac{x^{a+1}}{a+1} \\
\hline  e^{x} & e^{x}} \\
\hline  sin(x) & -cos(x) \\
\hline  cos(x) & sin(x) \\
\hline
\end{tabular}

Les règles de calcul usuelles à connaitre par coeur viennent de celles de la dérivation :

\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline \textbf{fonction} & \textbf{primitive a une constante pres} \\ 
\hline  g'(x)+h'(x)& g(x)+h(x) \\
\hline  \lambda.g'(x)&  \lambda.g(x) \\ 
\hline  g'(x).h' o g(x) & h o g(x)\\
\hline  \displaystyle\frac{h'(x).g(x)-h(x).g'(x)}{g^2(x)} & \displaystyle\frac{h(x)}{g(x)}\\
\hline
\end{tabular}

Et certaines primitives, vues leur fréquence, peuvent être apprises par coeur. Mais elles se retrouvent par le calcul ( composition entre plusieurs primitives usuelles, changement de variable, ...)

\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline  \textbf{fonction} & \textbf{primitive a une constante pres}  \\  
\hline  g'(x).g^{n}(x) & \displaystyle\frac{g^{n+1}(x)}{n+1}  \\
\hline  a^{x},    a \in \R^*_+-\{1\} & \displaystyle\frac{a^{x}}{ln(a)}  \\ 
\hline  \displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)} & \ln(|h(x)|) \\
\hline  tan(x) & -\ln(|cos(x)|) \\
\hline  \displaystyle\frac{1}{cos^2(x)} & tan(x)  \\
\hline  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& Arcsin(x) ou -Arccos(x) \\
\hline  \displaystyle\frac{1}{{1+x^2}}& Arctan(x)  \\
\hline  sh(x) & ch(x)  \\
\hline  ch(x) & sh(x)  \\
\hline  th(x) & \ln(ch(x)) \\
\hline  \displaystyle\frac{1}{ch^2(x)} & th(x) \\
\hline   \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & Argsh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\
\hline \displaystyle\frac{1}{{1-x^2}} &  \displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right) = \left\{
{\begin{tabular}{c} 
Argcoth(x)   \displaystyle\ pour x>1 \\ 
Argth(x) \displaystyle\  pour |x|<1\\
-Argcoth(-x) \displaystyle\ pour x<-1 \\
\end{tabular}} \\
\hline
\end{tabular}

situation-problématique Pour calculer \int_a^b f(t)dt , regardons dans l’ordre si nous avons :
    • une intégration directe,
    • une intégration par parties,
    • une décomposition en éléments simples,
    • un changement de variable.
exemple Calculer : I=\int_0^4 f(x)dx, où f(x)=\sqrt{2x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+5}}En prennant le schéma précédent, regardons si nous avons :

    • une intégration directe,

D’après sa définition, f= u+v u(x)=\sqrt{2x+1} et v(x)=\frac{1}{\sqrt{x+5}}.
-  Les fonctions étant définies et continues sur [0, 4], \int_0^4 f(x)dx=\int_0^4 u(x)dx+\int_0^4 v(x)dx.

En utilisant les tableaux précédents, cherchons U et V des primitives respectivement de u et v :

u(x)=(2x+1)^{\frac{1}{2}} =\frac{1}{2}(2x+1)'(2x+1)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}g'(x).g^{\frac{1}{2}}(x)g(x)=2x+1.

U(x)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1+\frac{1}{2}}g^{\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}(x)=\frac{1}{3}. (2x+1)^{\frac{3}{2}}.

v(x)=\frac{1}{\sqrt{x+5}}= (x+5)^{\frac{-1}{2}}=(x+5)'(x+5)^{\frac{-1}{2}}=g'(x).g^{\frac{-1}{2}}(x)g(x)=x+5

V(x)=\frac{1}{1+\frac{-1}{2}}g^{1+\frac{-1}{2}}(x)=2(x+5)^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x+5}

En résultat :

I=\int_0^4 f(x)dx=\left[ \frac{1}{3}. (2x+1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x+5}\right]_0^4 I= (\frac{1}{3}. (2.4+1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{4+5})-(\frac{1}{3}. (2.0+1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{0+5})= \frac{44}{3}-2\sqrt5

énoncé Déterminer les primitives de :f(x)=\frac{Arctg(x)}{(x^2+1)}.
ce qu'il faut retenir le tableau des primitives des fonctions usuelles et celui des règles de calcul usuelles