Calculs d'intégrales doubles - epiphys

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Calculs d’intégrales doubles

Description :

exercices d’intégration

Intention pédagogique :

Savoir dessiner un domaine d’intégration dans le plan, s’entrainer au calcul d’intégrales doubles.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h20

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode
définition Soit A une partie bornée de \R^3. Si la fonction constante 1 est intégrable sur A, A est dit mesurable. De plus, on appelle mesure ou volume de A le réel défini par : \mu(A)=\int\int\int_Adxdydz.

Considérons une surface S de \R^3 définie par S=\{(x,y,z)\in\R^3|(x,y) \in D, z=f(x,y)\}, où f est une fonction définie et continue sur D. Soit A la partie bornée de \R^3 délimitée par le plan z=0 , la surface S pour (x,y) \in D. Par définition, nous avons : \mu(A)=\int\int\int_Adxdydz.

En utilisant le théorème de Fubini, f étant continue sur D, nous obtenons : \mu(A)=\int\int\int_Adxdydz= \int\int_D \left(\int_0^{f(x,y)}1dz\right) dxdy \mu(A)= \int\int_D \left[z\right]_0^{f(x,y)} dxdy= \int\int_D f(x,y) dxdy

Ainsi \int\int_D f(x,y) dxdy est le volume délimité par le plan z=0 et la surface z=f(x, y) pour (x, y) \in D .

De la même manière, en utilisant le théorème de Fubini, nous obtenons les deux propriétés suivantes :

propriété Si D=\{(x,y) \in \R^2| x\in ]a, b[, y\in ] \phi_1(x),\phi_2(x)[\}\phi_1 et \phi_2 sont deux fonctions continues de ]a, b[ dans \R, alors pour f une fonction continue et bornée sur D :

\int\int_D f(x,y) dxdy =\int_a^b\left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) dy\right)dx

propriété Si D=\{(x,y) \in \R^2| y\in ]c, d[, y\in ] \psi_1(y),\psi_2(y)[\}\psi_1 et \psi_2 sont deux fonctions continues de ]c, d[ dans \R, alors pour f une fonction continue et bornée sur D :

\int\int_D f(x,y) dxdy =\int_c^d\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx\right)dy

D’après ces définitions, pour calculer \int\int_D f(x,y) dxdy , nous allons :

  1. représenter le domaine d’intégration,
  2. choisir un ordre d’intégration,
  3. intégrer successivement deux intégrales simples.
exemple Calculer I=\int\int_D xy dxdy D=\{(x,y) \in \R^2| x\ge 0, y\ge 0,  x+y\le 1\}.
  • représenter le domaine d’intégration. Les frontières du domaine D sont les droites  x=0, y=0,  x+y=1. D’après les inégalités, D est :
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  • choisir un ordre d’intégration.

Si nous choisissons d’intégrer d’abord par rapport à x puis par rapport à y, nous allons utiliser l’expression : \int\int_D f(x,y) dxdy =\int_c^d\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx\right)dy

Dans cette égalité, y est indépendant de x. Dans le domaine, la plus petite valeur possible pour y est 0, la plus grande valeur possible est 1. Ainsi : c=0 et d=1 .

Dans \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx , seul x varie. Les bornes de cette intégrale se déterminent donc pour y constant. Reprenons D :

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Les points du domaine pour y fixé ont leur abscisse qui varie entre 0 et 1-y. Ainsi : \psi_1(y)=0 et \psi_2(y)=1-y .

question remue-méninges Si nous choisissons d’intégrer d’abord par rapport à y puis par rapport à x, quelles sont les bornes de l’intégrale ?
  • intégrer successivement deux intégrales simples.

I=\int\int_D f(x,y) dxdy =\int_0^1\left(\int_{0}^{1-y} xy dx\right)dy I=\int_0^1y\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1-y}dy=\int_0^1y\frac{(1-y)^2}{2}dy I=\frac{1}{2}\int_0^1y-2y^2+y^3dy=\frac{1}{2}\left[\frac{y^2}{2}-\frac{2y^3}{3}+\frac{y^4}{4}\right]_{\0}^{1}=\frac{1}{24} I=\frac{1}{24}

énoncé Calculer I= \int\int_D x+y dxdy D est le triangle de sommet O(0,0), A(0, 1), B(2, 0).
énoncé Calculer I= \int\int_D x^2+2y dxdy D=\{(x,y) \in \R^2| y\ge x^2, x\ge y^2\}.
ce qu'il faut retenir D’après ces définitions, pour calculer \int\int_D f(x,y) dxdy , nous allons :
  1. représenter le domaine d’intégration,
  2. choisir un ordre d’intégration,
  3. intégrer successivement deux intégrales simples.