définition et utilisation de la décomposition en éléments simples
Comprendre et utiliser une méthode d’intégration : décomposition en éléments simples
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Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .
Avant de faire la décomposition en éléments simples d’une fonction rationnelle ( fraction de fonctions polynômiales), faisons l’ébauche d’une décomposition en éléments simples dans d’une fraction d’entiers
La partie entière de cette fraction correspond au nombre de fois que le dénominateur se trouve dans le numérateur. Dans
, le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. La partie entière est donc non nulle. Et pour la calculer, nous allons faire la division du numérateur par le dénominateur.
ce qui se traduit par : soit
.
.
Nous allons déterminer le dénominateur comme produit de nombres premiers : . Dans cette factorisation,
n’apparait qu’une seule fois , son ordre de multiplicité est
. Par contre,
apparait
fois, son ordre de multiplicité est donc égal à
.
Il y a une partie principale pour chaque facteur irréductible du dénominateur. Donc une partie principale pour et
, notées
.
Dans cet exemple :
Nous allons expliciter la méthode au travers d’un exercice :
Exercice 1 :
Calculer A, l’aire de la surface délimitée par pour
D’après l’énoncé, A.
Ainsi, pour cette intégrale, essayons :
Or je connais la primitive du numérateur et du dénominateur ( fonctions polynomiales) mais je ne connais pas celle de la fraction. De plus cette fonction n’est ni de la forme ni de la forme
. Je ne sais donc pas l’intégrer directement.
cette fonction peut être considérée comme un produit de deux fonctions. Mais les différents choix que je peux faire pour et
ne me permettentent pas d’avoir une fonction
plus facile à intégrer. Par exemple, :
En général, pour une fonction rationnelle, on ne cherche pas à utiliser l’intégration par parties.
Il n’y a pas ici de facteur commun au numérateur et au dénominateur. La fraction est irréductible.
Le dégré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, la partie entière n’est donc pas nulle. Pour trouver cette partie entière, nous allons faire une division par puissances décroissantes du numérateur par le dénominateur
.
et
.
La factorisation du dénominateur en produit de polynômes irreductibles donne .
D’après la factorisation précédente, nous avons trois parties principales : et
.
Par définition, la partie principale de est la somme de fractions telles que
D’où :.
De même
Pour déterminer les constantes, on peut se contenter de l’égalité (1) :
En multipliant (1) par , il vient :
Pour
, on obtient :
.
En multipliant (1) par , il vient :
Pour , on obtient :
.
En multipliant (1) par , il vient :
.
Pour
, on obtient :
.
En multipliant (1) par , le dénominateur de
, il vient :
. Cette égalité n’est pas définie pour
. La méthode précédente ne s’applique pas directement.
D’après les résultats précédents :
Or . La fraction est simplifiable par
En multipliant (2) par , il vient :
.
Pour , on obtient :
.
En résultat :
Reste à intégrer :
A
A
A
A