Calcul d'intégrales (3) - epiphys

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Calcul d’intégrales (3)

Description :

définition et utilisation de la décomposition en éléments simples

Intention pédagogique :

Comprendre et utiliser une méthode d’intégration : décomposition en éléments simples


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode décomposition en éléments simples :

Avant de faire la décomposition en éléments simples d’une fonction rationnelle ( fraction de fonctions polynômiales), faisons l’ébauche d’une décomposition en éléments simples dans \N d’une fraction d’entiers \frac{182}{180}

  • une fraction irréductible.

\frac{182}{180} = \frac{2.7.13}{2^2.5.3^2}= \frac{7.13}{2.5.3^2}= \frac{91}{90}

  • une partie entière :  E.

La partie entière  E de cette fraction correspond au nombre de fois que le dénominateur se trouve dans le numérateur. Dans \frac{91}{90}, le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. La partie entière est donc non nulle. Et pour la calculer, nous allons faire la division du numérateur par le dénominateur.

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ce qui se traduit par :  91=1*90+1 soit  \frac{91}{90}= 1+\frac{1}{90}.  E= 1.

  • une factorisation du dénominateur.

Nous allons déterminer le dénominateur comme produit de nombres premiers :  90=2.5.3^2. Dans cette factorisation,  2 n’apparait qu’une seule fois , son ordre de multiplicité est  1. Par contre,  3 apparait  2 fois, son ordre de multiplicité est donc égal à  2.

  • les parties principales.

Il y a une partie principale pour chaque facteur irréductible du dénominateur. Donc une partie principale pour  2, 3 et 5, notées  pp(2), pp(3), pp(5).

  • la fraction est la somme de sa partie entière et de ses parties principales.

Dans cet exemple :  \frac{91}{90}= 1+pp(2)+ pp(3)+pp(5)

  • Il reste à déterminer plus précisemment les parties principales.
méthode

Nous allons expliciter la méthode au travers d’un exercice :

Exercice 1 :

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Exercice 1

Calculer A, l’aire de la surface délimitée par y=0, y= \frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2} pour 3 \le x \le 4

D’après l’énoncé, A=\int_3^4 \frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2}dx.

situation-problématique Pour calculer \int_a^b f(t)dt , regardons dans l’ordre si nous avons :
    • une intégration directe,
    • une intégration par parties,
    • une décomposition en éléments simples,
    • un changement de variable.

Ainsi, pour cette intégrale, essayons :

    • une intégration directe : ceci suppose de connaitre la primitive directe de \frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2}.

Or je connais la primitive du numérateur et du dénominateur ( fonctions polynomiales) mais je ne connais pas celle de la fraction. De plus cette fonction n’est ni de la forme f'.f^n ni de la forme \frac{f'g-g'f}{g^2}. Je ne sais donc pas l’intégrer directement.

    • une intégration par parties :

cette fonction peut être considérée comme un produit de deux fonctions. Mais les différents choix que je peux faire pour f et g' ne me permettentent pas d’avoir une fonction f'.g plus facile à intégrer. Par exemple, :  
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline \displaystyle f(x)=\frac{1}{(x^2-1)(x-2)^2} & \displaystyle f'(x)=\frac{-x^4+4x^3-3x^2-4x-1}{(x^2-1)^2(x-2)^4} \\ 
\hline g '(x)=x^5  & \displaystyle g(x)=\frac{x^6}{6} \\
\hline \end{tabular}
En général, pour une fonction rationnelle, on ne cherche pas à utiliser l’intégration par parties.

    • La fonction à intégrer est une fraction de polynômes. Nous allons faire une décomposition en éléments simples.
  • une fraction irréductible.

Il n’y a pas ici de facteur commun au numérateur et au dénominateur. La fraction est irréductible.

  • une partie entière :  E.

Le dégré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, la partie entière n’est donc pas nulle. Pour trouver cette partie entière, nous allons faire une division par puissances décroissantes du numérateur N(x)=x^5 par le dénominateur D(x)=(x^2-1)(x-2)^2=x^4-4x^3+3x^2+4x-4.

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E(x) = x+4 et  \frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2} = x+4+ \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x^2-1)(x-2)^2} .

  • une factorisation du dénominateur.

La factorisation du dénominateur en produit de polynômes irreductibles donne D(x)= (x-1)(x+1)(x-2)^2.

  • les parties principales.

D’après la factorisation précédente, nous avons trois parties principales : pp(x+1), pp(x-1) et pp(x-2).

Par définition, la partie principale de (x+1) est la somme de fractions telles que

    • le dénominateur est une puissance de (x+1), cette puissance varie entre 1 et l’ordre de multiplicité de (x+1) dans le dénominateur, ici 1
    • le numérateur est un polynôme de degré strictement plus petit que celui de (x+1) , ici de degré zéro.

D’où :pp(x+1) = \sum_{i=1}^{1}\frac{A_i}{(x+1)^i}=\frac{A_1}{(x+1)} .

De même

pp(x-1) = \sum_{i=1}^{1}\frac{B_i}{(x-1)^i}=\frac{B_1}{(x-1)} pp(x-2) = \sum_{i=1}^{2}\frac{C_i}{(x-2)^i}=\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{C_2}{(x-2)^2}

  • la fraction est la somme de sa partie entière et de ses parties principales.

f(x)=E(x)+\sum  pp=x+4+\frac{A}{(x+1)} +\frac{B}{(x-1)}+\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{C_2}{(x-2)^2}

  • Il reste à déterminer plus précisemment les parties principales.

Pour déterminer les constantes, on peut se contenter de l’égalité (1) : \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x^2-1)(x-2)^2}= \frac{A_1}{(x+1)}+\frac{B_1}{(x-1)}+\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{C_2}{(x-2)^2

    • Pour déterminer A_1.

En multipliant (1) par (x+1), il vient :

 \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x-1)(x-2)^2}= A_1+(x+1)\left[\frac{B_1}{(x-1)}+\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{C_2}{(x-2)^2\right] Pour x = -1, on obtient :A_1 =\frac{1}{18} .

Cette méthode ne s’utilise que si le dénominateur admet une racine réelle et si l’égalité obtenue est définie pour cette racine.

discussion Avec ce calcul, les autres parties principales "disparaissent". Cette méthode permet de calculer les parties principales indépendamment les unes des autres. Elle évite de "propager" les erreurs de calcul. Une autre méthode possible est l’identification.
    • Pour déterminer B_1  :

En multipliant (1) par (x-1), il vient :

 \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x+1)(x-2)^2}= B_1+(x-1)\left[\frac{A_1}{(x+1)}+\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{C_2}{(x-2)^2\right]

Pour x = 1, on obtient :B_1 =\frac{1}{2} .

    • Pour déterminer C_2  :

En multipliant (1) par (x-2)^2, il vient :
-   \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x-1)(x+1)}=[pp(x+1)+pp(x-1)](x-2)^2 + C_2.
-  Pour x = 2, on obtient :C_2 =\frac{32}{3} .

    • Pour déterminer C_1  :

En multipliant (1) par (x-2), le dénominateur de C_1 , il vient : \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x-1)(x+1)(x-2)}=[pp(x+1)+pp(x-2)](x-2) +C_1+ \frac{C_2}{(x-2)}. Cette égalité n’est pas définie pourx = 2. La méthode précédente ne s’applique pas directement.

D’après les résultats précédents :

 \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x-1)(x+1)(x-2)^2}= pp(x-1)+pp(x+1)+\frac{C_1}{(x-2)}+\frac{32}{3(x-2)^2  \frac{13x^3-16x^2-12x+16}{(x-1)(x+1)(x-2)^2}-\frac{32}{3(x-2)^2}= pp(x-1)+pp(x+1)+\frac{C_1}{(x-2)}  \frac{39x^3-80x^2-36x+80}{3(x^2-1)(x-2)^2}= pp(x-1)+pp(x+1)+\frac{C_1}{(x-2)}

Or  {39x^3-80x^2-36x+80}=(x-2)(39x^2-2x-40). La fraction est simplifiable par (x-2)

question remue-méninges est-ce un cas particulier ?

 \frac{39x^2-2x-40}{3(x^2-1)(x-2)}=pp(x-1)+pp(x+1)+\frac{C_1}{(x-2)} (2)

En multipliant (2) par (x-2), il vient :

\frac{39x^2-2x-40}{3(x^2-1)}= [pp(x-1)+pp(x+1)](x-2)+C_1.

Pour x = 2, on obtient :C_1 =\frac{112}{9} .

En résultat :

\frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2}=x+4+\frac{1}{18(x+1)}+ \frac{1}{2(x-1)}+\frac{112}{9(x-2)}+\frac{32}{3(x-2)^2}

Reste à intégrer :

A=\int_3^4 \frac{x^5}{(x^2-1)(x-2)^2}dx

A=\int_3^4 x+4+\frac{1}{18(x+1)}+ \frac{1}{2(x-1)}+\frac{112}{9(x-2)}+\frac{32}{3(x-2)^2}dx

A=\left[\frac{x^2}{2}+4x+\frac{1}{18}\ln(x+1)+ \frac{1}{2}\ln(x-1)+\frac{112}{9}\ln(x-2)-\frac{32}{3(x-2)}\right]_3^4

A=\frac{77}{6}+\frac{213}{18}\ln(2)+ \frac{1}{18}\ln(5)+\frac{1}{2}\ln(3)

ce qu'il faut retenir La méthode de décomposition en éléments simples