Calcul d'intégrales (4) - epiphys

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Calcul d’intégrales (4)

Description :

définition et utilisation du changement de variable

Intention pédagogique :

comprendre et utiliser une méthode d’intégration : intégration par changement de variable


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h20

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


définition Changement de variable :
  • Soit g une fonction bijective de [\alpha, \beta] sur g\left([\alpha, \beta]\right), de dérivée continue sur [\alpha, \beta].
  • Soit f une fonction continue sur g\left([\alpha, \beta]\right). Nous poserons a=g(\alpha) et b=g(\beta).

Considérant le changement de variable  x=g(t),


\int_a^b f(x)dx = \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)).g'(t)dt

question remue-méningesD’où vient cette formule ?
exemple
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Calculer A, l’aire du quart de cercle de centre (0, 0), de rayon r, pour des points d’abscisses et d’ordonnées positives.

Calculer une aire correspond à un calcul intégral. Pour effectuer ce calcul, il faut déterminer les frontières du domaine considéré.

  • les points du domaine ont des abscisses et des ordonnées positives, le cercle a pour équation x^2+y^2=r^2
  • y=\sqrt{r^2-x^2}, 0\le x\le r

A
= \int_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx

situation-problématique Pour calculer \int_a^b f(t)dt , regardons dans l’ordre si nous avons :
    • une intégration directe,
    • une intégration par parties,
    • une décomposition en éléments simples,
    • un changement de variable.

Ainsi, pour cette intégrale, essayons :

    • une intégration directe,

Mais je ne connais pas la primitive directe de \sqrt{r^2-x^2}

    • une intégration par parties,

je dois reconnaitre cette fonction comme étant le produit de deux fonctions f et g'. Les différentes possibilités pour f et g' donnent un produit f'g moins facile à intégrer que fg'. Par exemple :

 \begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline  f(x)=\sqrt{r^2-x^2} & f '(x)=  \displaystyle\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}  \\  
\hline g '(x)=1 & g(x)=x \\
\hline \end{tabular}

 \begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline  f(x)=\sqrt{r-x} & f '(x)=  \displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{r-x}}  \\  
\hline g '(x)=\sqrt{r+x} & \displaystyle g(x)=\frac{2}{3}({r+x})^{\frac{3}{2} }\\
\hline \end{tabular}

    • une décomposition en éléments simples,

La fonction \sqrt{r^2-x^2} n’est pas une fonction rationnelle.

    • un changement de variable.

La difficulté du changement de variable ne tient pas tant en la méthode proprement dite mais plutôt dans le choix du changement de variable. Comme il existe une infinité de fonctions pouvant servir de changement de variable, il est important de suivre les différentes étapes pour l’intégration : intégration directe, intégration par parties, décomposition en éléments simples et seulement enfin, le changement de variable.

question remue-méninges Alors,en général, comment trouver le changement de variable ?
question remue-méninges Et, dans ce cas particulier, comment trouver un changement de variable ?

Prenons comme changement de variable x= r.sin(\theta) = g(\theta). L’utilisation de la formule se fait en 3 étapes :

  • Changement des bornes :

Pour x =0, \theta=0+k\pi.

Pour x =r, \theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi.

La fonction devant être bijective, je prends k =0.

  • Déterminer une relation entre dx et d\theta

g étant bijective, sa fonction réciproque existe. Nous avons deux possibilités : x= g(\theta) \Rightarrow dx = g'(\theta).d\theta ou g^{-1}(x)= \theta \Rightarrow (g^{-1})'(x)dx = d\theta.

Ici,x= r.sin(\theta) ou Arcsin(\frac{x}{r})=\theta. Je préfère utiliser la première équation :dx= r.cos(\theta)d\theta

  • Remplaçer dans l’intégrale

A
= \int_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx =\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{r^2-(r.sin(\theta))^2}r.cos(\theta).d\theta

Pour \theta \in [0, \frac{\pi}{2}], \sqrt{1-sin^2(\theta)}=cos(\theta), d’où

A
=r^2.\int_0^\frac{\pi}{2} cos^2(\theta).d\theta
A
=r^2.\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{cos(2\theta)+1}{2}.d\theta=\frac{r^2}{4} \left[sin(2\theta)+2\theta \right]_0^\frac{\pi}{2}

D’où le résultat attendu pour l’aire du quart de cercle : A
=\frac{\pi.r^2}{4}

énoncé
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Calculer A, l’aire de la surface délimitée par y=0, y= \frac{\ln(x)}{x\ln(x)+x} pour 1 \le x \le e

ce qu'il faut retenir La formule du changement de variable