Approximation locale - epiphys

Global Local Liste Concept

Approximation locale

Intention pédagogique :

faire comprendre les notions d’approximation locale, de précisions.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

0h30

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


introductionApproximation locale ? Que veut dire ce terme : est-ce de l’à peu près ? quand l’utilise-t-on ?

A travers des exemples de la vie de tous les jours, nous allons introduire cet outil mathématique, essayer de comprendre sa réalité physique et la notion de précision qu’il entraine.


situation-problématique
  • Exemple 1 :

Passionnée de Sciences, je profite d’une journée libre pour me rendre au palais de la découverte à Paris. Je vais donc sur le site internet de Mappy pour préparer mon voyage.

Après avoir rentré ma requête, j’obtiens la position du musée par rapport aux arrondissements.

JPEG - 37.6 ko
précision : arrondissement

Ne connaissant pas Paris, j’ai besoin de plus de précisions sur la position exacte du musée. Je vais ainsi demander à connaitre sa position par rapport aux grands axes routiers,

JPEG - 34 ko
précision : grands axes

puis par rapport à l’ensemble de toutes les rues et ruelles avoisinantes.

JPEG - 22.9 ko
précision : ruelles

J’obtiens ainsi trois représentations graphiques différentes du même élément.

Le deuxième plan est plus précis que le premier, de même pour le troisième par rapport au deuxième. De façon générale, le plan n+1 est plus précis que le plan n.

    • Au voisinage du palais de la découverte, certains éléments du plan n+1 sont omis sur le plan n. Ces éléments du plan n+1 sont négligés sur le plan n compte tenu de la précision de ce dernier.

Ces différents plans sont des approximations de la localisation du palais de la découverte au sens où chacun définit la position avec une certaine précision, donc en négligeant certains éléments. Le plan n+1 donne donc une approximation plus précise de la localisation du palais de la découverte que le plan n. Sa précision est plus grande car il représente des éléments "plus petits" que la précision utilisée pour le plan n.

    • Le plan n est une approximation de la position du palais de la découverte à Paris. Il va de soi, que si je demande la localisation du Louvre à Paris, je n’obtiendrai pas le même plan. cette approximation est une approximation locale.

En conclusion, mon plan n me donne l’approximation locale de la position du palais de la découverte avec une certaine précision. Les éléments plus précis que ce que je souhaite (précision) ne sont pas représentés.

situation-problématique
  • Exemple 2 : utilisation d’un microscope avec des grossissements différents.
  • Exemple 3 : mesure d’une longueur : on ne considère d’abord que les kilomètres, puis on précise avec les mètres, puis les décimètres, ....
Considérons :
  • f une application de E dans \R . Dans l’exemple 1, l’application considérée est la localisation d’un lieu sur une carte. Dans les exemples 2 et 3, les applications sont respectivement l’image et la longueur.
  • x_0 un élément de l’ensemble de définition de f et f(x_0) son image par f.

On dira que l’application g est une approximation de l’application f au V_{x_0} avec la précision P1 si

 \forall x\in V_{x_0}, |f(x)- g(x)| < P1    (1)

Si nous voulons une approximation plus précise de la fonction f au voisinage de x_0 , nous allons, à cette approximation, ajouter des éléments plus précis. Par exemple, l’application g+h est une approximation de l’application f au V_{x_0} avec la précision P2, P2<P1

  \forall x\in V_{x_0}, |f(x) -\left( g(x)+h(x) \right)|<P2,   (2)

P2 \le h<P1 .

Pour obtenir cette approximation (2) de f , des termes plus précis, h , ont été ajoutés à l’approximation (1).

exemple
JPEG - 21.1 ko
approximations en 0 de sin(x)ln(x+1)

Dans cette représentation, nous avons 4 approximations de la fonction f(x)=sin(x)ln(1+x) en 0. \forall x \in V_0

  • |f(x)-g_1(x)|<P1
  • |f(x)=g_2(x)|<P2
  • |f(x)=g_3(x)|<P3
  • |f(x)=g_4(x)|<P4 .

Au V_0 , P4<<P3<<P2<<P1 . Ces approximations de f sont donc de plus en plus précises.

question remue-méninges Si g est une approximation de f en x_0. g est-elle tangente à f en x_0 ?
ce qu'il faut retenir Définir une approximation d’une application f, c’est définir une application g égale à f dans un voisinage considéré V_{x_0} sous une précision donnée. L’utilisation de cette approximation est donc locale et se fait dans les limites de la précision utilisée.