Calcul d'intégrales (2) - epiphys

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Calcul d’intégrales (2)

Description :

définition et utilisation de l’intégration par parties

Intention pédagogique :

comprendre et utiliser une méthode d’intégration : intégration par parties.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

0h45

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


définition Intégration par parties :

Si f et g sont deux fonctions intégrables et de dérivées continues sur [a, b] :


\int_a^b f(t)g'(t)dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f'(t)g(t)dt

question remue-méninges D’où vient cette formule ?
situation-problématique Pour calculer \int_a^b f(t)dt , regardons dans l’ordre si nous avons :
    • une intégration directe,
    • une intégration par parties,
    • une décomposition en éléments simples,
    • un changement de variable.
exemple
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Calculer 
I= \int_0^\frac{\pi}{2}x.cos(x) dx

Ainsi, pour cette intégrale, essayons :

    • une intégration directe : ceci suppose de connaitre la primitive directe de x.cos(x). Or je connais la primitive de x\Rightarrow \frac {x^2}{2}et celle de cos(x)\Rightarrow sin(x) mais je ne connais pas celle de x.cos(x). De plus cette fonction n’est ni de la forme f'.f^n ni de la forme g'.f'og. Je ne sais donc pas l’intégrer directement.
    • une intégration par parties : Pour utiliser cette méthode, il faut donc
      • reconnaitre, dans la fonction à intégrer, le produit de deux fonctions f et g',
      • pouvoir déterminer f ' et g,
      • f'.g soit plus facile à intégrer que f.g'.

On pose \begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline f(x)=x & f '(x)=1 \\  
\hline g '(x)=cos(x) & g(x)=sin(x) \\ 
\hline \end{tabular}

I= \int_0^\frac{\pi}{2}x.cos(x) dx=\left[x.sin(x)\right]_0^\frac{\pi}{2}- \int_0^\frac{\pi}{2}(1).(sin(x)) dx I=[\frac{\pi}{2}]-\left[(-cos(x))\right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-1

énoncé
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Calculer 
I= \int_0^1 Arcsin(x) dx

ce qu'il faut retenir
  • la formule d’intégration par parties.
  • l’intégration du produit d’une fonction polynomiale et d’une fonction sinus ou cosinus se fait par parties. L’objectif est de se ramener à l’intégration d’une fonction trigonométrique d’où des dérivations successives de la fonction polynomiale.
  • Toute fonction f peut s’écrire comme étant le produit d’elle même avec 1. D’où la possibilité d’une intégration par parties.