Rotationnel d'un vecteur en coordonnées sphériques - epiphys

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Rotationnel d’un vecteur en coordonnées sphériques

Description :

Méthode de calcul de  rot \ \vec V en coordonnées sphériques.

Intention pédagogique :

Donner la méthode de calcul du rotationnel d’un champ de vecteur connaissant l’expression des vecteurs de ce champ en repère local sphérique.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Dans cet article, on manipule l’opérateur nabla ( \vec \nabla ) qui a été défini dans l’article calculer intitulé ’Vecteur Nabla’ du concept Gradient et dont on a présenté les différentes expressions en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Cet opérateur permet aussi de calculer la divergence d’un vecteur.



situation-problématique L’opérateur rotationnel permet de construire un champ vectoriel  \vec R (M) à partir d’un champ vectoriel  \vec V (M) ( \vec V aura les propriétés de dérivabilité qu’il convient). Comment s’exprime en un point M le rotationnel d’un vecteur  \vec V(M) lorsque l’on travaille en coordonnées sphériques, cartésiennes, cylindriques ?
discussion Dans un système de coordonnées sphériques, on obtient l’expression du rotationnel de  \vec V = V_R(R,\Phi, \theta) \vec e_R+ V_{\Phi}(R,\Phi, \theta) \vec e_{\Phi} + V_{\theta}(R,\Phi, \theta) \vec e_{\theta} en tout point M(R,\Phi, \theta) en effectuant formellement le produit vectoriel de  \vec \nabla par  \vec V à partir de leur expression en coordonnées sphériques. Ainsi, on a :

 \vec R (M) = rot \ \vec V = \vec \nabla \times \vec V


\vec R (M) = rot \ \vec V = \left( \vec e_R \ \frac{\partial{}}{\partial{R}}+ \vec e_{\Phi} \ \frac{1}{R} \frac{\partial{}}{\partial{{\Phi}}} + \vec e_{\theta}\ \frac{1}{R \sin {\Phi}} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} \right) \times \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)


\begin{array}{llll}
\vec R(M) &= & rot \ \vec V & = \displaystyle \ \vec e_R  \times  \frac{\partial{}}{\partial{R}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)  \\ 
&&& \displaystyle +\ \vec e_{\Phi}  \times \frac{1}{R} \frac{\partial{}}{\partial{{\Phi}}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right) \\
&&& \displaystyle + \ \vec e_{\theta}  \times \frac{1}{R \sin {\Phi}} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)
\end{array}

Soit :
 
\begin {array}{llll}
\vec R(M) & = & rot \ \vec V & =  \displaystyle \frac{1}{R \sin \Phi} \left(  \frac {\partial{(\sin\Phi \ V_\theta)}}{\partial{\Phi}} - \frac {\partial{V_\Phi}}{\partial{\theta}} \right) \vec e_R \\
&&&  \displaystyle + \ \frac{1}{R} \left( \frac{1}{\sin \Phi}\frac {\partial{V_R}}{\partial{\theta}} - \frac {\partial{(R V_\theta)}}{\partial{R}} \right) \vec e_\Phi \\
&&&  \displaystyle + \ \frac{1}{R}\left( \frac {\partial{(R V_\Phi)}}{\partial{R}} - \frac {\partial{V_R}}{\partial{\Phi}} \right) \vec e_\theta 
\end {array}

Le résultat est bien un vecteur !!

notation Le produit vectoriel de deux vecteurs \vec A et  \vec B est noté  \vec A \times \vec B en référence à la terminologie anglosaxonne cross product pour produit vectoriel.
notation En notation anglosaxonne  rot \ \vec V s’écrit  curl \ \vec V .