Divergence d'un vecteur en coordonnées sphériques - epiphys

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Divergence d’un vecteur en coordonnées sphériques

Description :

Méthode de calcul de  div \ \vec V en coordonnées sphériques.

Intention pédagogique :

Donner la méthode de calcul de la divergence d’un champ de vecteur connaissant l’expression des vecteurs de ce champ dans un repère local sphérique.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

20 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Dans cet article, on manipule l’opérateur nabla ( \vec \nabla ) qui a été défini dans l’article calculer intitulé ’Vecteur Nabla’ du concept Gradient et dont on a présenté les différentes expressions en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Cet opérateur permet aussi de calculer la rotationnel d’un vecteur.



situation-problématique L’opérateur divergence permet de construire un champ scalaire  D(M) à partir d’un champ vectoriel  \vec V (M) ( \vec V aura les propriétés de dérivabilité qu’il convient). Comment s’exprime en un point M la divergence d’un vecteur  \vec V(M) lorsque l’on travaille en coordonnées sphériques, cartésiennes, cylindriques ?
discussion Dans un système de coordonnées sphériques, on obtient l’expression de la divergence de  \vec V = V_R(R,\Phi, \theta) \vec e_R+ V_{\Phi}(R,\Phi, \theta) \vec e_{\Phi} + V_{\theta}(R,\Phi, \theta) \vec e_{\theta} en tout point M(R,\Phi, \theta) en effectuant formellement le produit scalaire de  \vec \nabla par  \vec V à partir de leur expression en coordonnées sphériques. Ainsi, on a :

 D(M) = div \ \vec V = \vec \nabla \cdot \vec V


D (M) = div \ \vec V = \left( \vec e_R \ \frac{\partial{}}{\partial{R}}+ \vec e_{\Phi} \ \frac{1}{R} \frac{\partial{}}{\partial{{\Phi}}} + \vec e_{\theta}\ \frac{1}{R \sin {\Phi}} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} \right) \cdot \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)


\begin{array}{llll}
D(M) &= &div \ \vec V & =  \displaystyle \ \vec e_R  \cdot  \frac{\partial{}}{\partial{R}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)  \\ 
& & & \displaystyle +\ \vec e_{\Phi}  \cdot \frac{1}{R} \frac{\partial{}}{\partial{{\Phi}}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right) \\ 
& & & \displaystyle +\ \vec e_{\theta}  \cdot \frac{1}{R \sin {\Phi}} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} \left( V_R \vec e_R+ V_{\Phi} \vec e_{\Phi} + V_{\theta} \vec e_{\theta} \right)
\end{array}

Soit (tenant compte de ce que \vec e_R dépend de \theta et de  \Phi et de ce que \vec e_{\Phi} dépend de  \Phi et de \theta) :

 \boxed {D(M) = div \ \vec V = \frac{1}{R^2} \frac{\partial{(R^2 V_R)}}{\partial{R}} + \frac{1}{R \sin \Phi} \frac{\partial{(\sin \Phi \ V_{\Phi})}}{\partial{\Phi}} + \frac{1}{R \sin \Phi}\frac{\partial{V_\theta}}{\partial{\theta}} }

Le résultat est bien un scalaire !!