Distinguer trajectoires et lignes de courant - epiphys

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Distinguer trajectoires et lignes de courant

Description :

Deux modes d’observation de l’évolution d’un milieu continu

Intention pédagogique :

Mettre en évidence le rôle de l’hypothèse dans la définition des lignes de courant, situer ce concept par rapport à celui de trajectoire.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU Pierre AIME .


introduction Un champ de vecteurs \cali X dépendant ou non du "temps" étant donné, la théorie des systèmes dynamiques s’intéresse aux trajectoires du champ \cali X, c’est à dire aux arcs paramétrés  \tau \mapsto \gamma (\tau ) tels que

\gamma ' (\tau) = \cali X (\tau ,\gamma (\tau )).

Pour un système dynamique en général, la variable \tau est un paramètre réel, qui est neutre vis à vis de toute interprétation temporelle, ce qui a l’avantage de permettre des changements (admissibles) de paramètre, tels que l’abscisse curviligne sur la trajectoire.

On va retrouver ici l’utilité de cette conception générale.

Le concept de Mouvement d’un milieu continu est supposé connu. On en reprend les notations sans les redéfinir.


situation-problématique Avec des hypothèses convenables, un champ de vecteurs admet des "trajectoires".
question remue-méninges Qu’entend-on par là ?

Mais si le champ dépend du temps, ce n’est pas si simple. Le champ se modifie au fur et à mesure que l’on se déplace sur les trajectoires.

Peut-on préciser dans le cas d’un mouvement ?

discussion

Un mouvement de milieu continu est donné.

t \mapsto \phi (t,M), \: t \in I, \: M \in B

Si l’on fixe une particule M, la trajectoire de M au sens de la cinématique est exactement la trajectoire de M vue comme trajectoire du champ eulérien des vitesses v au sens des systèmes dynamiques, le paramètre est ici le temps t.

Si l’on fixe un instant t, la position de M à cet instant est m=\phi (t,M). La trajectoire de m au sens des systèmes dynamiques, pour le champ eulérien des vitesses à l’instant t, est une courbe qui peut être sans rapport avec le mouvement de M.

C’est ainsi qu’apparait la notion de ligne de courant (on devrait préciser : à l’instant t). Pour ces courbes, t étant fixé, le paramètre \tau n’a aucun rapport avec le temps.

exemple

- Voici un exemple (le détail des calculs n’a pas d’importance pour l’instant).

B est un carré du plan, le mouvement est défini pour t>-1 par

 \phi (t,(X,Y))= ((t+1)X,t+Y)

De la relation  V(t,M)=(X,1) on déduit le champ des vitesses

 v(t,m)=(\frac {x} {t+1},1)

La figure suivante représente les \phi(t,B) pour t=0 à t=6 avec un pas \Delta t=1.5. Pour t=0, on obtient le carré initial (en bas), et l’on suit le mouvement d’un réseau de 36 points, où sont représentés les vecteurs v(t,m). licour1

Les lignes de courant à un instant t fixé sont les courbes d’équation

 y=c \exp(\frac {x} {t+1})

La figure suivante représente des lignes de courant à l’instant t=3. licour2

Le mouvement n’est pas stationnaire, les trajectoires sont distinctes des lignes de courant. Elles sont rectilignes. licour3

- Dans le cas où le champ des vitesses à t fixé n’admet pas de solution exacte facilement exprimable, ou si le champ n’est pas défini analytiquement mais en des points donnés d’un maillage numérique ou expérimental, il faut procéder à une résolution numérique et donc commencer par discrétiser les équations... Dans ce cas, le résultat n’est généralement pas une expression analytique ou paramétrique des lignes de courant, mais juste leur tracé comme sur la figure ci-dessous qui représente quelques lignes de courant (les courbes en rouge) du champ de vitesse à un instant t d’un jet plan en impact sur une plaque perpendiculaire au jet (les vecteurs vitesses - un peu flous - sont colorées en fonction de leur norme).

pour aller plus loin Lignes de courant