Champs vectoriels élémentaires - epiphys

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Champs vectoriels élémentaires

Description :

Qu’est-ce qu’un champ uniforme, permanent, 2D ? Comment cela se formalise-t-il dans une équation ?

Intention pédagogique :

Donner la définition de quelques champs élémentaires et apprendre comment sont formalisées les propriétés de ces champs dans les équations différentielles.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction L’idée de champ vectoriel est connue. On sait ce qu’est une dérivée partielle et ce que signifie par exemple la notation  \partial{f} / \partial{x} pour une fonction  f(x,y,z) .

situation-problématique Dans cet article, on appelle région d’étude la région de l’espace sur/dans laquelle travaille le physicien dans le cadre d’un problème donné. Cette région est fréquemment plus petite que le domaine de définition mathématique des champs vectoriels que le physicien a à considérer dans son problème.

Parfois, un champ vectoriel possède une propriété non pas sur tout le domaine d’étude mais sur une partie de ce domaine. On dira alors le champ  \vec X a telle ou telle propriété sur telle ou telle région (une paroi, une interface, un volume particulier dans un milieu inhomogène, etc.) du domaine d’étude.

Soit  \vec V le champ vectoriel défini par :

 
\begin{array}{cccc}
\vec V: &  \R^3  & \longrightarrow & \R \\
    & (x,y,z) & \longrightarrow & \vec V(x,y,z)
\end{array}

On pose avec des notations évidentes, en coordonnées cartésiennes :

 \vec V(x,y,z)= V_1(x,y,z) \vec e_1 + V_2(x,y,z) \vec e_2 + V_3(x,y,z) \vec e_3

définition Champ uniforme

Le champ vectoriel  \vec V est dit uniforme sur une région R donnée de l’espace affine  \R^3 si \vec V est le même en tout point de cette région R.

Champ de vecteur uniforme.

C’est le cas du champ de gravitation dans de nombreux problèmes simples ou sur des domaines pas trop étendus en largeur (sinon changement de direction de  \vec g) ni en hauteur (sinon diminution de la norme de \vec g avec la distance au sol)



Dans les équations, ceci se traduit par, en tout point  M(x,y,z)  :
-  \vec V(x,y,z) = Constante = \vec V_0
-  \left \{ \begin{array}{3} V_1(x,y,z) =  V_{01} = Constante  \\ 
                                             V_2(x,y,z) =  V_{02} = Constante  \\
                                             V_3(x,y,z) =  V_{03} = Constante  
                  \end{array} \right.
-  \left \{ \begin{array}{3} \displaystyle \frac{\partial V_1}{\partial x}=\frac{\partial V_1}{\partial y}=\frac{\partial V_1}{\partial z}=0  \\ 
                                             \displaystyle \frac{\partial V_2}{\partial x}=\frac{\partial V_2}{\partial y}=\frac{\partial V_2}{\partial z}=0  \\
                                             \displaystyle \frac{\partial V_3}{\partial x}=\frac{\partial V_3}{\partial y}=\frac{\partial V_3}{\partial z}=0  
                  \end{array} \right.


erreur fréquente L’erreur la plus fréquente est de croire qu’un champ vectoriel uniforme ne dépend pas du temps. Un champ dépendant du temps peut être uniforme à une date t, ne plus l’être à un autre moment, puis le redevenir.

La notion d’uniformité est une notion exclusivement spatiale !



définition Champ monodimensionnel

On appelle champ monomensionnel ou champ unidirectionnel tout champ dont deux des composantes sont nulles en tout point. Le champ est alors aligné avec la direction perpendiculaire au plan des deux composantes qui sont nulles. Dans toute la région où est défini le champ (cette région de l’espace affine \R^3 pouvant être 3D), tous les vecteurs sont alignés avec la même direction (mais pas tous forcément orientés dans le même sens). En général, la direction de la composante non nulle est choisie comme étant l’une des directions d’un repère d’observation cartésien.

Suppsons que le champ \vec V soit 1D et alignons l’axe y d’un repère d’observation cartésien avec la direction de la composante non nullz de \vec V . Dans les équations, ceci se traduit par :
-  \left \{ \begin{array} {ccc} V_1(x,y,z) & = & 0  \\ 
                                             V_2(x,y,z) &=&  V_2(x,y,z)   \\
                                             V_3(x,y,z) &=&  0   
                  \end{array}

On ne préjuge pas de ce qui se passe selon les autres directions.



définition Champ bidimensionnel

On appelle champ bidimensionnel tout champ dont une des composantes est nulle en tout point. Le champ est alors contenu dans le plan perpendiculaire à cette direction. Tous les vecteurs du champ sont dans un même plan. En général, la direction de la composante nulle est fixée comme étant l’une des directions d’un repère d’observation cartésien.

Suppsons que le champ \vec V soit bidimensionnel et alignons l’axe y d’un repère d’observation cartésien avec la direction de nullité de \vec V . Dans les équations, ceci se traduit par :
-  \left \{ \begin{array} {ccc} V_1(x,y,z) & = &  V_1(x,y,z)  \\ 
                                             V_2(x,y,z) &=&  0   \\
                                             V_3(x,y,z) &=&  V_3(x,y,z)   
                  \end{array}

On ne préjuge pas de ce qui se passe selon les autres directions.

Champ vectoriel bidimensionnel. Le champ n’a pas de composante selon z.


définition Champ plan

On appelle champ plan tout champ invariant selon une direction donnée. Le champ est plan dans le plan perpendiculaire à la direction d’invariance. En général, la direction d’invariance est fixée comme étant l’une des directions du repère d’observation.

Suppsons que le champ \vec V soit plan et alignons l’axe y d’un repère d’observation cartésien avec la direction d’invariance de \vec V . Dans les équations, ceci se traduit par :
-  \left \{ \begin{array}{3} V_1(x,y,z) =  V_1(x,z)  \\ 
                                             V_2(x,y,z) =  V_2(x,z)   \\
                                             V_3(x,y,z) =  V_3(x,z)   
                  \end{array} \right.
-  \left \{ \begin{array}{3} \displaystyle \frac{\partial V_1}{\partial y}=0  \\ 
                                             \displaystyle \frac{\partial V_2}{\partial y}=0  \\
                                             \displaystyle \frac{\partial V_3}{\partial y}=0  
                  \end{array} \right.

On ne préjuge pas de ce qui se passe selon les autres directions.



erreur fréquente L’erreur la plus fréquente est de croire qu’un champ vectoriel plan est bidimensionnel dans le plan perpendiculaire à la direction d’invariance ! Non, un champ vectoriel plan peut aussi être tridimensionnel. Dans ce cas, la composante dans la direction y (la direction d’invariance) ne varie pas avec y ce qui se traduit par  \partial {V_2} / {\partial y}=0 qu’il ne faut pas confondre avec V_2=0 !


Un champ vectoriel peut être plan et tridimensionnel simultanément. Les vecteurs clairs sont les vecteurs du champ - les vecteurs foncés sont leur ombre portée dans les plans perpendiculaires à la direction d’invariance qui est ici y.


définition Champ permanent

On appelle champ permanent tout champ invariant au cours du temps.

Dans les équations, ceci se traduit en tout point par :
-  \frac{\partial \vec V}{\partial t}=0
-  \frac{\partial V_1}{\partial t}= \frac{\partial V_2}{\partial t} = \frac{\partial V_3}{\partial t}=0



erreur fréquente L’erreur la plus fréquente est d’écrire que champ permanent se traduit par :
-  \frac{d \vec V}{dt}=0 avec des "d droits"

L’égalité n’est vraie que pour des champs uniformes.

commentaire Attention, certains auteurs utilisent indifféremment permanent et stationnaire pour indiquer qu’un champ ne dépend pas du temps. Stationnaire signifie en toute rigueur au repos. Il s’agit probablement d’une dérive de l’anglais qui, pourtant, distingue bien steady (permanent) de stationary (au repos). Peut-être que la proximité sonore des deux mots steady et stationary a conduit à la confusion constatée fréquemment.

Attention donc à bien se faire préciser le sens des mots de son interlocuteur.