Normale à une surface et gradient - epiphys

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Normale à une surface et gradient

Description :

Dans l’espace physique (3D) une surface est définie par une équation implicite du type f(x,y,z) = constante. C’est donc une iso quelque chose. Ne peut-on donc pas se servir d’un vecteur gradient pour déterminer un vecteur normal à la surface en un point M ?

Intention pédagogique :

Utiliser les propriétés des champs et du vecteur gradient pour montrer que ce vecteur/opérateur "sert à quelque chose", est un "outil" comme un autre qui, en l’occurrence, permet de déterminer en un point M d’une surface S de l’espace physique un vecteur normal à la surface. Comparer plusieurs méthodes pour obtenir un vecteur normal.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU Pierre AIME .


situation-problématique

Le calcul du flux \Phi d’un champ vectoriel \vec X à travers une surface orientée S est donné, par exemple, par la relation :

 \Phi = \iint_S {\vec X \cdot \vec n \ ds.

On se reportera à l’article Un calcul de flux.

Si S et \vec X sont définis analytiquement dans un système de coordonnées locales quelconque (tant qu’à faire, on exprimera S et \vec X dans le même système de coordonnées) pour effectuer le calcul, il nous faut exprimer ds et \vec n dans ce système de coordonnées.

Pour le calcul de \Phi, \vec X étant donné, distinguons ainsi deux opérations à effectuer :

  1. Obtenir le vecteur unitaire normal \vec n ("le" car il n’en existe qu’un qui soit compatible avec l’orientation du contour de ds en chaque point).
  2. Exprimer la 2-forme ds
discussion En chaque point M \in S, le vecteur \vec n peut être obtenu (au signe près) en normalisant n’importe quel vecteur normal non nul \vec N.

 \vec n=\frac{\vec N}{\|\vec N\|}

Utilisons un système de coordonnées orthogonales (u,v,w) tel que le repère local au point courant M soit pour mémoire donné par :


\vec e_u = \frac{1}{N_u} \ \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{u}} \qquad \qquad \qquad \vec e_v = \frac{1}{N_v} \ \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{v}} \qquad \qquad \qquad \vec e_w = \frac{1}{N_w} \ \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{w}}


N_u = \| \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{u}}\| \qquad \qquad \qquad N_v = \| \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{v}}\| \qquad \qquad \qquad N_w = \| \frac{\partial{\overrightarrow{OM}}}{\partial{w}}\|

Un champ normal (un champ de vecteurs normaux à la surface S) est obtenu par l’un des deux procédés suivants.

- Procédé 1 : Une surface S décrite par la relation f(u,v,w)=0 dans un système de coordonnées (u,v,w) peut être vue comme une "iso-f" car on a bien une relation du type f(u,v,w)=\text{Cste} avec en l’occurrence \text{Cste} = 0. Or, pour un champ scalaire f donné, on sait qu’en tout point M, le vecteur \overrightarrow{grad}(f)_M, est perpendiculaire à l’iso-f passant par ce point.
Un vecteur unitaire \vec n normal en M à la surface S est donc donné par :

\boxed {\vec n_M = \frac{\overrightarrow{grad}(f)}{\|\overrightarrow{grad}(f)\|}(M)}

.

Rappel de la démonstration :
Le plan tangent est décrit par l’équation :

 (\frac{\partial{f}}{\partial{u}})_M(u-u_0) + (\frac{\partial{f}}{\partial{v}})_M(v-v_0)+ (\frac{\partial{f}}{\partial{w}})_M(w-w_0) = 0

soit :

 (\frac{\partial{f}}{\partial{u}})_M \ u + (\frac{\partial{f}}{\partial{v}})_M \ v+ (\frac{\partial{f}}{\partial{w}})_M \ w= cste

qui est de la forme :

 au+bv+cw = d

ce qui permet de vérifier qu’un vecteur unitaire normal à ce plan est le vecteur \vec n tel que :

\vec n = \frac {a \vec e_u + b \vec e_v + c \vec e_w}{\| a \vec e_u + b \vec e_v + c \vec e_w\|}= \frac{\overrightarrow{grad}(f)}{\|\overrightarrow{grad}(f)\|}(M)

- Procédé 2 : supposons maintenant que la surface S est donnée par une paramétrisation qui s’exprime en coordonnées locales par  w = g(u,v) .

On peut revenir au cas précédent. En effet, ceci est équivalent à décrire S par la fonction f telle que : f(u,v,w) = g(u,v)-w=0

Un vecteur normal non nécessairement unitaire à la surface S au point M de coordonnées (u,v,w=g(u,v)) est le vecteur \vec N = \overrightarrow{grad}(f)(M) dont les coordonnées sont (\frac{1}{N_u}\frac{\partial{f}}{\partial{u}}(M),
\frac{1}{N_v}\frac{\partial{f}}{\partial{v}}(M),
\frac{1}{N_w}\frac{\partial{f}}{\partial{w}}(M)) (voir l’article Expression du gradient en coordonnées locales) soit, compte tenu de la définition de la fonction f,

\vec N = (\frac{1}{N_u}\frac{\partial{g}}{\partial{u}}(M),
\frac{1}{N_v}\frac{\partial{g}}{\partial{v}}(M),
-\frac{1}{N_w}(M))

.

discussion Pour le calcul d’un flux,  \Phi = \iint_S {\vec X \cdot \vec n \ ds , il reste à exprimer ds en fonction de la paramétrisation choisie. Un exemple est traité dans l’article "un calcul de flux" du concept Mesure surfacique et flux.
ce qu'il faut retenir Finalement, le flux \Phi d’un champ vectoriel \vec X à travers une surface orientée S sera calculé à partir :

-  \Phi = \iint_S {\vec X \cdot \frac{\overrightarrow{grad}(f)}{\|\overrightarrow{grad}(f)\|} \ ds si la surface S est donnée par une équation du type f(u,v,w)=0. Dans ce cas : ds = \|\vec N\| dudv=\|N_u \vec e_u \times N_v \vec e_v \| dudv
-  \Phi = \iint_S {\vec X \cdot \vec N \ ds avec dS=dudv et \vec N = N_u \vec e_u \times N_v \vec e_v où le vecteur \vec N n’est pas nécessairement unitaire et n’est pas nécessairement égal à \overrightarrow{grad}(f)}.

On préfèrera la première écriture où \vec n est unitaire et ds est donnée par les "formules habituelles" lorsqu’on est en coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques...