Formule de la divergence - epiphys

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Formule de la divergence

Description :

La formule de la divergence permet de passer d’une intégrale de volume à un flux.

Intention pédagogique :

Donner la formule de la divergence et ouvrir sur les champs à flux conservatif...


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Le concept de champ est connu. Il est utile d’avoir une idée de ce qu’est une équation de bilan (voir l’article "Equation généralisée de bilan" du concept Bilans par exemple).

situation-problématique En mécanique des milieux continus on est souvent amené à écrire des équations de bilan sous forme locale à l’aide d’équations différentielles faisant intervenir des grandeurs ou des quantités physiques par l’intermédiaire de leur densité volumique (voir l’article "Equation généralisée de bilan : forme différentielle" du concept Bilans). Or, dans un bilan, on a souvent affaire à des flux au travers des frontières du domaine d’étude (le système). Comment exprimer ces flux qui sont typiquement des grandeurs surfaciques à l’aide de quantités volumiques ?
discussion Il nous faut une relation permettant de passer de grandeurs surfaciques à des grandeurs volumiques. C’est un peu à cela que sert la formule de la divergence.

Cette formule relie le flux d’un champ vecoriel \vec U au travers d’une enveloppe fermée S à l’intégrale de la divergence de ce champ vectoriel sur le volume V limité par cette surface. C’est un donc un cas particulier du plus général Théorème de Stokes.

De manière pratique, si l’on suppose que le champ vectoriel \vec U considéré est C1 sur le volume V considéré, on a :

\oiint_{S}{\vec U \cdot \vec n \ dS}=\iiint_{V}{\text{div} \vec U \ dV}

où l’on rappelle qu’en tout point M de la surface fermée S, le vecteur normal \vec n (sous-entendu \vec n(M)) est conventionnellement orienté vers l’extérieur du volume V délimité par S.

ce qu'il faut retenir Formule permettant de de passer d’une intégrale de volume à un flux :

\boxed {\oiint_{S}{\vec U \cdot \vec n \ dS}=\iiint_{V}{\text{div} \vec U \ dV} }

A la physicienne, on retiendra qu’à gauche du signe égal on a une intégrale double. A droite du signe égal on a augmenté le degré de l’intégrale (elle est maintenant triple) en même temps que l’on a diminué le degré de la quantité intégrée (via l’opérateur div qui implique une dérivation). On conserve le "degré initial", c’est cohérent... [1]

En pratique, la formule de la divergence permet de passer d’un flux à travers une surface fermée à une intégrale de volume. Elle est très utile dans les équations de bilan. Elle intervient notamment dans l’établissement de l’équation dite équation de continuité qui exprime la conservation (ou le bilan plus exactement) de la masse dans un milieu continu.

Enfin, cette formule ouvre sur une interpétation physique générale de la divergence : la notion de densité de flux...

notation Les appellations ci-dessous sont équivalentes ou, du moins, fréquemment utilisées l’une pour l’autre dans de nombreux ouvrages :

- Formule de la divergence
- Formule (ou théorème) d’Ostrogradsky
- Formule de Green
- Formule de Green-Ostrogradsky
- Formule de Stokes (voir le concept de rattachement de cet article - Théorème de Stokes)

question remue-méninges Considérons le cas particulier d’un champ vectoriel dont la divergence serait nulle en tout point. Dans ce cas l’intégrale sur tout volume V est nulle. Par voie de conséquence, le flux net du champ \vec U au travers de toute surface fermée est aussi nul. Ce sera le cas notamment pour un tube de courant formé d’une "section d’entrée" et d’une "section de sortie"... Que peut-on alors dire des flux du champ \vec U au travers des sections d’entrée et de sortie du tube de courant ?

(voir Lignes et Tubes de courant pour les définitions correspondantes)