Equation généralisée de bilan - epiphys

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Equation généralisée de bilan

Description :

Sans utiliser de formule, cet article propose une forme générale d’équation de bilan applicable à tout type de système et de situations.

Intention pédagogique :

A partir d’un exemple simple dont chacun se souviendra sans doute, donner un point d’accroche méthodologique pour l’établissement d’une équation de bilan sous forme intégrale ou locale.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


situation-problématique Considérons le système que constitue votre compte en banque. Considérons également la quantité \Psi d’argent présente sur votre compte à chaque instant. On s’intéresse ici à l’écriture d’une équation dite de bilan instantanée qui exprime comment varie au cours du temps la quantité d’argent \Psi. De quelle manière cette quantité peut-elle varier ?

La quantité d’argent sur votre compte change en fonction des opérations de retrait ou de dépôt d’argent que vous effectuez sur votre compte : le compte échange alors avec l’extérieur. La quantité d’argent présent sur votre compte peut également être affectée par des mécanismes bancaires : intérêts, charges, agios... Il ne s’agit plus d’échanges avec l’extérieur mais de "création" ou de "destruction" interne d’argent au sein du système.

Cette image peut-elle être généralisée ?

discussion Considérons un système \Sigma de volume V dont l’enveloppe est notée S. Considérons une certaine quantité, un certain montant, d’une grandeur \Psi. On suppose que la quantité de \Psi contenue dans \Sigma n’est pas constante et peut donc varier au cours du temps. La question est tout simplement de savoir de quelle manière cette quantité peut varier.

- La quantité de \Psi dans V peut tout d’abord augmenter ou diminuer au cours du temps s’il existe une ou plusieurs source(s) et/ou un ou plusieurs puits de \Psi qui vont respectivement créer ou détruire "du \Psi" au cours du temps (régulièrement, à taux constant, épisodiquement, etc. - la manière importe peu à ce stade) à l’intérieur du système \Sigma. On a là affaire à de la création ou de la destruction interne. Toutefois, la cause/source de création ou de destruction interne de \Psi peut être physiquement localisée à l’extérieur de \Sigma. C’est le cas pour un plat cuisiné à l’intérieur d’un four à micro ondes. L’énergie thermique du plat cuisiné (si c’est ça notre système) peut varier du fait de l’action d’un champ électromagnétique bien que la source de champ soit externe au système.
- La quantité de \Psi dans V peut varier parce qu’au cours du temps une certaine quantité de \Psi s’échappe de \Sigma ou entre dans \Sigma au travers de son enveloppe S si celle-ci est perméable à la grandeur physique \Psi. On a là affaire à des flux.

Ce qui précède peut se formaliser de la manière la plus générale qui soit pour toute grandeur grandeur extensive :


\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de variation} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V}
\end{array}
\right\}
=
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Flux net} \\
\text {des \'echanges} \\
\text {au travers de} \\
\text {\bf l'enveloppe S} 
\end{array}
\right\}
+
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de cr\'eation} \\
\text {interne} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V} 
\end{array}
\right\}

Les terminologies taux de et flux nous indiquent qu’il s’agit implicitement d’une équation de bilan instantanéinstantané signifie que l’on regarde ce qu’il se passe par unité de temps, soit généralement par seconde.

- Le terme à gauche du signe égal est appelé taux de variation. S’il est positif c’est que la quantité de \Psi présente dans \Sigma augmente au cours du temps.
- Le terme du milieu représente un flux net. C’est l’opposé de la somme des flux au travers des différentes surfaces d’échange du système \Sigma ce que l’on peut résumer en écrivant que :

 \left\{ \text{Flux net} \right\} =   - \left( \left\{ \text{ce qui rentre} \right\} +  \left\{ \text{ce qui sort} \right\} \right)

Pourquoi l’opposé ? Parce que les flux entrants sont conventionnellement comptés négativement tandis que les flux sortants sont comptés positivement. Ainsi, si ce qui sort est plus important que ce qui rentre, la somme ci-dessus est postive et l’opposée de la somme (le flux net) est négative. Si le taux de création interne est nul, on trouve alors que le taux de variation est négatif ce qui est cohérent "puisqu’il en sort plus qu’il en rentre".
- Le terme le plus à droite est le taux de création/destruction. S’il est négatif il s’agit d’un taux de destruction (on parle aussi de puits de \Psi).

Les trois termes ci-dessus ont pour dimension la dimension de \Psi par seconde.

Pour une grandeur physique \Psi donnée dans un problème donné, le plus difficile est en général d’identifier les différents mécanismes de production/destruction/échange de \Psi et de les modéliser. Ceci s’apprend dans le cours de physique propres à chaque discipline même s’il existe quelques modèles transdisciplinaires.

ce qu'il faut retenir Equation générale de bilan instantané pour toute grandeur extensive \Psi dans un système \Sigma de volume V et dont la frontière a pour surface S.


\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de variation} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V}
\end{array}
\right\}
=
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Flux net} \\
\text {des \'echanges} \\
\text {au travers de} \\
\text {\bf l'enveloppe S} 
\end{array}
\right\}
+
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de cr\'eation} \\
\text {interne} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V} 
\end{array}
\right\}

exemple

Système : un pays
Grandeur \Psi : sa population
Taux de variation : variation en habitants/s du nombre d’habitants dans le pays
Flux net : flux migratoires : sorties et entrées du territoire aux frontières (routes, avions, voies maritimes, clandestins ou non)...
Taux de création/destruction interne : taux de natalité, respectivement taux de mortalité (qui peut être divisé en différents taux : taux d’accidents, de morts naturelles, de crimes)...

question remue-méninges D’où vient le fait qu’un flux entrant soit négatif et un flux sortant positif ?
commentaire On parle souvent d’équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement ou de l’énergie ce qui pourrait facilement laisser entendre que ces quantités sont toujours conservées pour le système étudié.

Or, si je prends "ma personne" comme système d’étude, il est évident que ma masse, ma quantité de mouvement et mon énergie ne sont pas constantes au cours du temps.

La terminologie équation de conservation est dangereuse. Mieux vaut l’utiliser avec précautions. Personnellement, je préfère parler d’équations de bilans qui pourront s’appliquer à des systèmes fermés comme à des systèmes ouverts, isolés ou non, le cas des systèmes n’échangeant pas avec leur extérieur étant un cas particulier pour lequel on pourra parler de "conservation".