Densité de flux - epiphys

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Densité de flux

Description :

La divergence d’un champ vectoriel peut être intérprétée comme une densité de flux.

Intention pédagogique :

Il s’agit ici de donner un premier sens assez général à l’opérateur divergence.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


situation-problématique

La formule d’Ostrogradsky (voir l’article correspondant au concept Théorème de Sokes) permet de passer d’une intégrale sur une surface fermée à une intégrale de volume par la relation :

\oiint_{S}{\vec U \cdot \vec n \ dS}=\iiint_{V}{\text{div} \vec U \ dV}

L’intégrale à gauche du signe égal n’est rien d’autre qu’un flux vectoriel que l’on note ici \Phi. L’intégrale double est ici opérée sur la surface fermée S de l’enveloppe délimitant le volume V du domaine D étudié.

Il est intéressant de remarquer l’analogie formelle entre cette formule et celle (sans doute plus familière) qui relie la quantité totale d’une grandeur physque \Psi à sa densité volumique \rho_\Psi... Si l’on désigne par \Psi à la fois la grandeur cosidérée et son montant total dans le volume V délimité par la surface fermée S, on a en effet :

\Psi =\iiint_{V}{\rho_\Psi \ dV}

N’y a-t-il pas là moyen de donner un sens à la divergence ?

discussion

Comparons :

\Psi =\iiint_{V}{\rho_\Psi \ dV}

\Phi=\iiint_{V}{\text{div} \vec U \ dV}

Il suffit de poser \text{div} \vec U = \rho_\Phi (\text{div} \vec U est une quantité scalaire) pour que tout s’éclaircisse et que la divergence d’un champ vectoriel puisse être interprétée comme une densité volumique.

Une densité volumique de quoi ?

Il suffit de revenir au sens des intégrales en présence et en particulier à \Phi qui est un flux vectoriel pour simplement conclure que, de manière générale, la divergence d’un champ de vecteur est un champ scalaire représentant la densité volumique du flux du champ vectoriel considéré.

ce qu'il faut retenir La divergence d’un champ de vecteur \vec U est un champ scalaire. Ce champ scalaire peut être interprété comme le champ de la densité volumique de flux du champ \vec U

Si l’on veut calculer le flux \Phi de \vec U à travers la surface ferméee S délimitant le volume (ou le domaine) V (autrement dit, à travers la frontière de V), il suffit alors d’écrire :

\Phi= \iiint_{V}{\rho_\Phi\ dV} = \iiint_{V}{\text{div} \vec U \ dV}

\Phi = \oiint_{S}{\vec U \cdot \vec n \ dS}

pour aller plus loin De la même manière que la masse volumique \rho(M)en un point M du domaine D peut être définie comme étant la limite en ce point du rapport de la masse totale m de D à son volume V, avec les notations ci-dessus, \text{div} \vec U(M) peut être considérée comme étant la limite au pôint M du rapport du flux net \Phi du champ vectoriel \vec U (champ défini sur D) au travers de l’enveloppe S de D à son volume V :


\rho(M) = \lim_{D \to 0\text{ en M}} (\frac{m}{V})


\text{div} \ \vec U(M) = \lim_{D \to 0\text{ en M}} (\frac{\Phi}{V})

Ces deux dernières relations qui contiennent une limite et les raisonnements suivis dans cet article sont à rapprocher fortement de ce qui est expliqué et généralisé fort simplement dans l’article de type synthétiser "Densités relativement à une mesure" du concept Densité.