L'idée de champ - epiphys

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L’idée de champ

Description :

Petite approche de ce que l’on entend par champ en siences physiques. Lien avec les fonctions de R3affine dans un espace d’arrivée quelconque.

Intention pédagogique :

Faire le lien entre la notion assez intuitive de "champ" en sciences physiques et leur représentation par des fonctions de R3 dans un espace d’arrivée qui peut être R, R3 ou autre chose. Introduire la terminologie "mode d’Euler".


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

20 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


situation-problématique Qui n’a pas entendu parlé de champ magnétique (le champ magnétique terrestre par exemple), de champ gravitationnel, de champ d’attraction, de champ de force, etc. ?

Qu’entend-on par champ exactement ? C’est une notion somme toute bien intuitive.

discussion

Champ

Considérons une grandeur G variable dans l’espace, où la terminologie espace fait ici référence à l’espace physique qui nous entoure. Le fait de pouvoir associer une valeur de G à tout point d’une région donnée de l’espace correspond à définir un champ. Mathématiquement, cela revient à définir la fonction G qui à tout point M de coorodonnées x, y et z (par exemple) associe G(x, y, z), ce qui se note si G est une grandeur scalaire (un "nombre") :

 
\begin{array}{cccc}
G: &  \R^3  & \longrightarrow & \R \\
    & (x,y,z) & \longrightarrow & G(x,y,z)
\end{array}

et qui s’interprète comme : Le champ de la grandeur G est le champ (ou la fonction) qui à tout point M de coordonnées x, y et z (dans un repère qu’il faudrait préciser) associe la valeur de G en ce point, valeur de G que l’on note G(x,y,z) .

Champ scalaire

On parlera naturellement de champ scalaire si la fonction associée est une fonction scalaire. Ainsi, si je considère le bureau dans lequel je suis assis à rédiger cet article, je peux définir un champ scalaire T où T désigne la température de l’air de mon bureau (il s’agit bien d’une grandeur a priori variable dans l’espace). Ce champ T n’est autre qu’une fonction de  \R^3 dans  \R dont on restreint l’étude des propriétés à la région de l’espace qu’occupe l’air de mon bureau. La notation est la suivante :

 
\begin{array}{cccc}
T: &  \R^3  & \longrightarrow & \R \\
    & (x,y,z) & \longrightarrow & T(x,y,z)
\end{array}

ce qui s’interprète comme : Le champ de température T est le champ qui à tout point M de coordonnées x,y et z (dans un repère qu’il faudrait préciser) associe la température T de l’air en ce point, température que l’on va noter T(x,y,z) .

La notation T(x,y,z) signifie bien la température T au point de coordonnées (x,y,z).

Ainsi, on pourra définir des champs de pression P(x,y,z), des champs d’énergie E(x,y,z), des champs de charge q(x,y,z) ou, comme ci-dessous, le champ bidimensionnel Couleur(x,y) qui à tout point de coordonnées (x,y) de l’image associe la couleur du pixel en ce point (sur l’image, nous avons volontairement grossi les "points" qui sont représentés par des carrés jaunes - on pourrait raisonner sur le point au centre des carrés).

Champ scalaire : Couleur(x,y)

Champ bidimensionnel Couleur(x,y) qui à tout point de coordonnées (x,y) de l’image associe la couleur du pixel en ce point (voir l’article Champs Scalairess Elémentaires pour la définition d’un champ scalaire bidimensionnel).

Champ vectoriel

Il n’est pas difficile d’extrapoler ce qui précède pour définir des champs vectoriels qui en tout point d’un domaine d’étude associent une grandeur vectorielle. Par exemple, la loi d’attraction universelle nous dit que toute masse ponctuelle  \mathfrak{M} est à l’origine d’un champ de gravitation noté  \vec g qui est de la forme :

 
\vec g (x,y,z) = -G\frac{\mathfrak{M}}{(x^2+y^2+z^2)} \vec u

où :
- G est la constante d’attraction universelle qui vaut  6,672 10^{-11} N.m^{2}.kg^{-2}
- Dans un repère cartésien centré au point O où se trouve la masse ponctuelle  \mathfrak{M} , x, y et z sont les coordonnées cartésiennes du point M où le champ  \vec g (x,y,z) est donné. On remarquera que  (x^2+y^2+z^2) représente la distance entre O et M.
-  \vec u est le vecteur unitaire  \overrightarrow{OM}/\| \overrightarrow{OM} \| .

Appelons  g_1, \ g_2, \ g_3 les coordonnées de  \vec g(x,y,z) au point  M(x,y,z) dans la base  (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3) . Il faut absolumment garder en tête que  g_1, \ g_2, \ g_3 sont trois champs scalaires ! Ainsi, on a :  
\vec g (x,y,z) = g_1(x,y,z) \vec e_1 + g_2(x,y,z) \vec e_2 + g_3(x,y,z) \vec e_3

La figure ci-dessous représente un champ vectoriel : en tout point, on peut associer un vecteur qui n’a ici que deux composantes. Le champ est dit bidimensionnel (voir l’article Champs Vectoriels Elémentaires). Il s’agit d’un tourbillon de Taylor-Green que l’on peut tracer à partir de :

g_1(x,y)= \sin {(\pi x/2)} \cos {(\pi y/2)}

g_1(x,y)=- \cos {(\pi x/2)} \sin {(\pi y/2)}



ce qu'il faut retenir Une fonction des coordonnées de l’espace, dans une région donnée, définit finalement ce que l’on appelle un champ. Si x, y et z désignent des coordonnées d’espace, on pourra avoir :
- Des fonctions scalaires  f(x,y,z)
- Des fonctions vectorielles  \vec A (x,y,z)

En physique, l’étude de champs va donc faire appel aux outils mathématiques de l’analyse, de l’algèbre vectorielle et de l’algèbre linéaire.



commentaire Dans cet article, x, y et z sont les coordonnées d’un point dans l’espace physique. Cette situation correspond à la majorité des cas rencontrés dans la pratique. Lorsque l’on parlera de champ, on parlera la plupart du temps (implicitement ou explicitement) de champs de l’espace.

Il est clair que l’on pourrait travailler sur d’autres types d’espaces et sur des "êtres mathématiques" autres que des scalaires ou des vecteurs...



commentaire Lorsque les propriétés physiques d’un milieu (solide, liquide, gaz, etc.) ne sont pas homogènes, c’est-à-dire n’ont pas même valeur en tout point, on pourrait parler des champs correspondants : champ de masse volumique, champ de conductivité thermique, champ de conductivité électrique, etc. Assez curieusement, dans ce cas on parlera de distribution plutôt que de champ.


commentaire Les champs  T(x,y,z) ou  \vec g (x,y,z) peuvent être définis point par point sans que les valeurs de ces champs en différents points, voisins ou non, n’aient de rapport entre elles. En physique, c’est quand même très rarement le cas. Les valeurs de  T ou  \vec g obéissent à une certaine logique ou à une certaine cohérence qui sont dictées par les lois de la physique. Les champs  T ou  \vec g seront décrits par des fonctions, souvent continues et plusieurs fois dérivables sur leur domaine de définition...


synonymes On dira indifféremment  T(x,y,z) est une fonction (scalaire) des 3 variables réelles x, y et z ;  T est un champ scalaire ;  T est un champ (le mot scalaire est souvent omis parce que le type de champ auquel on a affaire est généralement évident) ;  T est une fonction de champ.


notation On notera indifféremment  T ,  T(x,y,z) ou  T(M) . De même  \vec g(M) ,  \vec g(x,y,z) ou tout simplement  \vec g représentent la même chose.


question remue-méninges Un champ peut-il être "coupé" ?


question remue-méninges Une fonction réelle de la variable réelle f(x) définit-elle un champ ?


question remue-méninges Peut-on imaginer des champs autres que scalaires ou vectoriels ?


pour aller plus loin Lorsque l’on s’intéresse à des phénomènes variables au cours du temps, se donner un champ de température T(x,y,z,t) par exemple où t désigne la variable temps, revient en fait à se choisir par défaut un mode d’observation particulier. Ce mode consiste à regarder ce qui se passe au cours du temps en une région fixe de l’espace.

Ainsi, si je me donne un triplet (x0,y0,z0), la connaissance de T(x,y,z,t) me permet d’observer et de décrire comment varie (ou ne varie pas) la température T au point M0 (x0,y0,z0) au cours du temps.

Ce mode d’observation est appelé mode d’Euler. Les variables x, y et z sont appelées variables d’Euler. On y fait surtout référence dans une discipline bien particulier des sciences physiques : la mécanique des fluides. Ce mode "s’oppose" au mode de Lagrange. Pour en savoir plus, voir l’article de type observer intitulé "Visions Lagrangienne, Eulérienne" du concept Mouvement d’un milieu continu.